#分离变量法
考虑如下的初边值问题:
由 Sturm-Liouville 边值问题的结论,一维的二阶微分方程可以用分离变量法求解.以下是用分离变量法求解波方程的解题模版.
齐次无边值问题的分离变量法
此时考虑混合问题
解题模版
第一步:写出可分离变量形式的解,化为 Sturm-Liouville 边值问题
考虑分离变量形式的非零解
代入方程得
即
由于左端是 的函数,右端是 的函数,因此只能是常数,记为 ,得
将 代入边值条件得
由于 ,因此 ,从而
于是我们得到特征值问题
这是一个 Sturm-Liouville 边值问题;以及一个与 有关的初值问题:
具体的形式留到后面讨论.
第二步:通过讨论,解出 Sturm-Liouville 边值问题的特征值,并根据边值条件求出特解
时,解得通解为 ,代入边值条件得
解得 ,方程只有零解.
时,通解为 ,代入边值条件得
解得 ,方程只有零解.
时,通解为 ,代入边值条件得
得 ,为使方程有非零解,,因此 ,得
对应的特征函数为
第三步:根据上面解出的特征值,写出初值问题并求出其通解,并以级数形式(正交基下坐标)写出原问题的通解
此时,解方程 得
这里 为待定系数.方程的解为
第四步:将初值条件变换为同一级数形式(同一正交基下的坐标形式),比较系数求出特解系数
下面考虑初值条件:
由于特征函数系 的完备性,因此
这里
比较系数得
尾声:将解合并在一起
综上,方程的解形如
相容性条件
若
- ,,;
- ; .
则以上给出的 ,且满足该初边值问题.
非齐次零边值的分离变量法
考虑初边值问题
同样的,可将该混合问题的解按特征函数系 展开:
其中
则 化为
其后与前述相同。
齐次有边值问题的分离变量法
考虑初边值问题
我们用换元法将边值零化,这样就化为了无边值形式的问题,从而可以继续用分离变量法求解.
解题模版
第零步:换元将边值零化
令
一个在 处为 、 处为 的线性函数.
则 满足方程
这时
从而化为齐次零边值问题.