一维初边值问题的分离变量法

#分离变量法

考虑如下的初边值问题:

{Lu=utta2uxx=f,in (0,l)×(0,+)u=φ, ut=ψ,on [0,l]×{t=0}u|x=0=g1, u|x=l=g2,where t[0,+).

由 Sturm-Liouville 边值问题的结论,一维的二阶微分方程可以用分离变量法求解.以下是用分离变量法求解波方程的解题模版.

齐次无边值问题的分离变量法

此时考虑混合问题

{Lu=utta2uxx=0,in (0,l)×(0,+)u=φ, ut=ψ,on [0,l]×{t=0}u|x=0=0, u|x=l=0,where t[0,+).

解题模版

第一步:写出可分离变量形式的解,化为 Sturm-Liouville 边值问题

考虑分离变量形式的非零解

u(x,t)=X(x)T(t)

代入方程得

T(t)X(x)a2X(x)T(t)=0

T(t)a2T(t)=X(x)X(x)

由于左端是 t 的函数,右端是 x 的函数,因此只能是常数,记为 λ ,得

(λ)T(t)a2λT(t)=0, t0;X(x)λX(x)=0, x(0,l).

u(x,t)=X(x)T(t) 代入边值条件得

X(0)T(t)=X(l)T(t)=0, t>0

由于 u0,因此 T0,从而

X(0)=X(l)=0.

于是我们得到特征值问题

{X(x)λX(x)=0,x(0,l);X(0)=X(l)=0.

这是一个 Sturm-Liouville 边值问题;以及一个与 T(t) 有关的初值问题:

{T(t)λT(t)=,t>0

具体的形式留到后面讨论.

第二步:通过讨论,解出 Sturm-Liouville 边值问题的特征值,并根据边值条件求出特解

λ>0 时,解得通解为 X(x)=C1eλx+C2eλx,代入边值条件得

{C1+C2=0C1eλl+C2eλl=0

解得 C1=C2=0,方程只有零解.

λ=0 时,通解为 X(x)=C1x+C2,代入边值条件得

{C2=0C1l+C2=0

解得 C1=C2=0,方程只有零解.

λ<0 时,通解为 X(x)=C1cos(λx)+C2sin(λx),代入边值条件得

{C1=0C1cos(λl)+C2sin(λl)=0

C1=0,为使方程有非零解,C20,因此 sin(λl)=0,得

λn=(nπl)2,n=1,2,

对应的特征函数为

Xn(x)=sinnπlx.

第三步:根据上面解出的特征值,写出初值问题并求出其通解,并以级数形式(正交基下坐标)写出原问题的通解

此时,解方程 T(t)a2λnT(t)=0

Tn(t)=Ancosnaπlt+Bnsinnaπlt,

这里 An,Bn 为待定系数.方程的解为

u(x,t)=n=1(Ancosnaπlt+Bnsinnaπlt)sinnπlx.

第四步:将初值条件变换为同一级数形式(同一正交基下的坐标形式),比较系数求出特解系数

下面考虑初值条件:

u(x,0)=φ(x)=n=1Ansinnπlx,ut(x,0)=ψ(x)=n=1naπlBnsinnπlx.

由于特征函数系 {sinnπlx} (n=1,2,) 的完备性,因此

φ(x)=n=1φnsinnπlx,ψ(x)=n=1ψnsinnπlx.

这里

φn=φ,sinnπlxsinnπlx=2l0lφ(x)sinnπlxdx,ψn=ψ,sinnπlxsinnπlx=2l0lψ(x)sinnπlxdx.

比较系数得

An=φn=2l0lφ(x)sinnπlxdx,Bn=lnaπψn=2naπ0lψ(x)sinnπlxdx.

尾声:将解合并在一起

综上,方程的解形如

u(x,t)=n=1(cosnaπlt2l0lφ(x)sinnπlxdx+sinnaπlt2naπ0lψ(x)sinnπlxdx)sinnπlx.

相容性条件

非齐次零边值的分离变量法

考虑初边值问题

{Lu=utta2uxx=f,in (0,l)×(0,+)u=φ, ut=ψ,on [0,l]×{t=0}u|x=0=0, u|x=l=0,where t[0,+).

同样的,可将该混合问题的解按特征函数系 {sinnπl} 展开:

u(x,t)=n=1Tn(t)sinnπlx,f(x,t)=n=1fn(t)sinnπlx,φ(x)=n=1φnsinnπlx,ψ(x)=n=1ψnsinnπlx,

其中

n=,sinnπlxsinnπlx=2l0l(ξ)sinnπlξdξ,

(λ.1) 化为

{Tn(t)+λnTn(t)=fn(t),t0Tn(0)=φn, Tn(0)=ψn.

其后与前述相同。

齐次有边值问题的分离变量法

考虑初边值问题

{Lu=utta2uxx=0,in (0,l)×(0,+)u=φ, ut=ψ,on [0,l]×{t=0}u|x=0=g1, u|x=l=g2,where t[0,+).

我们用换元法将边值零化,这样就化为了无边值形式的问题,从而可以继续用分离变量法求解.

解题模版

第零步:换元将边值零化

v=u(lxlg1(t)+xlg2(t))
减去了个啥?

一个在 0 处为 g1l 处为 g2 的线性函数.

v 满足方程

{Lv=vtta2vxx=0,in (0,l)×(0,+)v=φ~, ut=ψ~,on [0,l]×{t=0}v|x=0=0, v|x=l=0,where t[0,+).

这时

φ~(x)=φ(x)(lxlg1(0)+xlg2(0)),ψ~(x)=ψ(x)(lxlg1(0)+xlg2(0)).

从而化为齐次零边值问题.